Page 28 - 4968

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8

Тема: Метод Рунге-Кутта для систем диференціальних

рівнянь рівнянь.

Технічне забезпечення: ПЕОМ середовище програмування

Короткі теоретичні відомості
Для чисельного інтегрування систем диференціальних

рівнянь та диференціальних рівнянь вищих порядків

застосовуються ті ж методи і схеми, які наведені в роботі №7,
єдиною відмінністю є те, що вони записуються у векторній
формі; наприклад, для системи:


x  f  ;,tx x   0  x (8.1)
0
схему четвертого порядку точності записується у вигляді:
k  f x , ,
 t
1 n n
k  f  x 5 . 0  ; tk   5 . 0 ,
2 n 1 n
k  f  x 5 . 0  ; tk   5 . 0 , (8.2)
3 n 2 n
k  f  x 5 . 0  ; tk   5 . 0 ;
4 n 3 n

 x  k  2k  2k  (8.3)
n 1 n 1 2 3 4
x k .
6
Кожен з виразів k буде складатись з такої кількості
i
розрахункових формул, яка дорівнює кількості невідомих в
системі рівнянь. Таким чином, для інтегрування систем из
кроком  по часу одержується явна обчичлювальна схема.
Оскільки будь-яке рівняння вищого порядку може бути

зведене до системи диференціальних рівнянь з n невідомими (n –

порядок рівняння), то підхід (8.2 – 8.3) може бути застосований
до інтегрування таких рівняннь.

  x 2  x 
Приклад 1. Записати рівняння x   2 x   t f ,   0 xx  ,
0
x   0  x у вигляді системи диференційних рівнянь. Вводимо нову
1
змінну x  . В такому випадку рівняння записується у вигляді

y
системи:
  yx 

 y     xt f 2xy 2

28