Page 21 - 4818

1.4 Необхідні умови оптимальності. Принцип
максимуму

Загальна задача управління. Розглянемо керований
об'єкт, що описується системою рівнянь:

dx f       , xu , (1.4.1)

dt
 
r
де x  R – вектор фазового стану об'єкта; u  R – вектор
n
управління.
Припустимо, задані початкова й кінцева множини M та
1
M . Задача управління полягає у встановленні наступного факту:
2

чи існує на деякому відрізку часу  ,tt хоча б одне таке
1
2

r
  U
допустиме управління ut  R , що відповідний йому

розв’язок  t рівняння (1.4.1) задовольняє граничним умовам:
x
 
x t
x  t  M ,   M 2 . (1.4.2)
1
2
1

Об'єкт є керованим на відрізку часу  ,tt із множини M
1
1
2
на множину M , якщо існує хоча б одне допустиме управління
2


 U
x
ut таке, що відповідний йому розв’язок   t задовольняє
граничним умовам (1.4.2), тобто здійснює перехід з початкової

множини M на кінцеву множину M на відрізку часу  ,tt .
1
2
2
1
Якщо питання про існування оптимального управління
вирішено, далі необхідно його знайти (для цього
використовуються необхідні умови оптимальності), а потім
вибирати оптимальне управління на множині всіх управлінь, що
задовольняють цим необхідним умовам. Необхідні умови
оптимальності, які дозволяють виділити із множини допустимих
процесів деяку підмножину процесів, підозрілих на
оптимальність, дає принцип максимуму Понтрягіна.
Властивості оптимальних управлінь. Розглянемо

керовану систему із законом (1.4.1) за заданих крайових умов
   
x t
x  t  1 x   1   1  1 ,..., x  1  ;   2 x  2   1  2 ,..., x n  2  , (1.4.3)
x
x
n

у якій фазовий вектор   x 1  ,t x 2  , ...,t x t
  набуває будь-
x t
n
21