Page 19 - 4818

Теорема (без доведення): якщо функції x tu t ,
( )
(),
k
i
i  1,..., ;n k  1,...,m доставляють екстремум функціоналу (1.3.1),
задовольняють рівняння зв’язку (1.3.3) та крайовим умовам
(1.3.2), то існують такі множники  i ()t , що ці функції

задовольняють рівнянням (1.3.5) для функціоналу (1.3.4).

Приклад: знайти екстремалі функціоналу
t 1

F    qx  2 u dt , q  0
2
t 0
на зв’язках
x  ax bu

при граничних умовах
x ()t  x 0 , x ( )t  x .
0
1
1
Допоміжний функціонал набуває вигляду:
t 1 t 1
F  1    qx  2 u  2  ()(t x  ax bu   ) dt     0  ( , , )x u  dt .

t 0 t 0
Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа набувають вигляду:
    d     
 0   0   0;
 x  dt  x   
  
   d    
 0   0   0;
 u  dt   u  
  d  
   0    0     0.
   dt     

        
З урахуванням 0  0; 0  0; 0   одержуємо:
u     x  
    2qx a ;   2qx a    ;

      2qx a ;
 2u  b ;   b 2  

  x   ax   ,  2x   2ax b .

 x   ax bu ,  2

19