Page 18 - 4818

1.3 Варіаційні задачі на умовний екстремум

Необхідно знайти екстремалі функціоналу:
t 1
0 
  F  x x   ,, , u u dt , (1.3.1)
t 0
що задовольняють граничні умови
 
x t 0 x 0 ; x   t  1 x , (1.3.2)
1
а також є розв’язками рівнянь зв’язку:


x   ,,xu t . (1.3.3)
Задача такого роду називається задачею Лагранжа, вона є
варіаційною задачею на умовний екстремум.

За аналогією до задач на умовний екстремум функцій, до
розгляду вводять новий функціонал:
t 1

1 
F    0  x ,,,, ,x u u    t dt , (1.3.4)
t 0
в якому

  0   0         x ,

де  − n-вимірний вектор, елементами якого є невизначені

функції, які називаються множниками Лагранжа. Задача на
умовний екстремум зводиться до задачі на безумовний екстремум

для функціоналу (1.3.4).
Рівняння Ейлера-Лагранжа при цьому записують у вигляді:
   n   d    
 0    j () t j    i () t  0   0, i  1,..., ; n
 x  i j 1 x  i dt  x   i 
   n   d  

 0    j ( ) t j  0  0, k  1,..., ; m (1.3.5)
 u  k j 1 u  k dt u   k
  
 0  x   i   i 0, i  1,..., . n
   i

Зазначена система має (2nm ) рівнянь для визначення

такого ж числа невідомих:
x i ( ),t  i ( ),t i  1,..., ;n u k ( ),t k  1,2,..., .m

18