Page 14 - 4818

t 1
) 
Ff f 2   ( , ,t f f f 1  , f 2  )dt
(
,
1
2
1
t 0
з відповідними граничними та початковими умовами умовою
екстремуму є така система:
   d    
     0;
 f  1 dt   f  1   

 (1.2.12)
   d    
        0.
 f  2 dt  f  2 

Якщо знаходять екстремум:



F f x  (, ) y   G x y f  ,  f   dxdy,
, , , f

D  x  y  
то необхідною умовою екстремуму є виконання рівності:
 G    G      G   

f  x    p    y    q    0, (1.2.13)

f  f 
де p  ; q  .
x  y 
Умова Лежандра: для того щоб функціонал (1.2.7) у задачі

з фіксованими границями досягав на кривій yt мінімуму
()
1
(максимуму), необхідно, щоб на цій кривій виконувалась умова:
 2  (, ,ty y 1  )  0(  0). (1.2.14)
1
0
y   2
Розв’язок задачі про брахістохрону. Функціонал (1.2.5)

шляхом заміни змінних можна звести до вигляду:

T 1 x  2
() 
Fx  dt , x (0)  ; a x ( )T  b. (1.2.15)
0 x
Використовуючи (1.2.9), одержуємо:

14