Page 13 - 4818

t 1      
 F   0  f  0  f    dt  0.
t  0 f   f  

Справедливі такі перетворення для другого доданку:

t 1   t 1    t 1 t 1 d    
 0  f dt    0 d f   0  f  0    fdt 

t 0  f  t 0 f   f   t 0 t 0 dt   f  

t 1 d    
  0   fdt .

t 0 dt  f  
Оскільки з умов закріпленості граничних точок випливає,
що ft ()  0 ft 1 , тому:
( ) 0
t 1   d      
 F    0   0    fdt  0,
t  0 f  dt   f   
звідки, з використанням основної леми варіаційного числення,

випливає:
  0  d   0   

f  dt    f    0. (1.2.9)

Рівняння (1.2.9) називається рівнянням Ейлера-Лагранжа,

розв’язуючи яке з умовами (1.2.8), одержується рівняння
екстремалі функціоналу (1.2.7).
Функціонали різного виду мають різні рівняння, що
описують екстремальні криві, проте, в тих випадках, коли взагалі

можливим є опис екстремалей диференційними рівняннями,
спосіб виведення вказаних рівнянь аналогічний описаному вище.
Для функціоналу:

t 1
0 
 
F   (, , , )t x x x dt (1.2.10)
t 0
з умовами:
x ()t  x 0 ; x ( )t  1 x 1 ; x ()t  0 x 0 ; x ( )t  1 x 1
0
умовою екстремуму є рівняння Ейлера-Пуасона:

  0  d    0  d  2    0   0. (1.2.11)
x  dt    x   dt 2    x   

Для функціоналу:

13