Page 10 - 4818

1.2 Елементи класичного варіаційного числення

Змінна величина Ff
(( ))t називається функціоналом, що
залежить від функції f ()t , якщо для кожної функції f ()t , що

належить деякій функціональній множині ставиться у
відповідність число F :
Ff A  R, (1.2.1)
(( )) :t
де A – деяка множина функцій; R – множина дійсних чисел.
Функція f може бути функцією кількох змінних.

Функціонал (( ))Ff t досягає мінімуму на f 0 ()t , якщо його

значення на будь-якій близькій до f 0 ()t кривій f 1 ()t не менше,
ніж (( ))Ff t :
0
 F  F ( ( ))f t  1 F ( ( )) 0f t  0 . (1.2.2)


Аналогічно визначається максимум: F  0.
Криві ()f t та ()g t близькі в розумінні близькості порядку

k, якщо

f ()i ()t  g ()i ()t   , i  1,...,k , (1.2.3)

де  – достатньо мале число.
Екстремум функціоналу, який досягається на кривих,

близьких в розумінні нульового порядку близькості – сильний
екстремум, а в розумінні близькості першого порядку – слабкий
екстремум.
Величина f ()t  g ()t   f – приріст аргументу

функціоналу ()Ff .

Історичні задачі варіаційного числення
Задача про брахістохрону: у вертикальній площині дано
дві точки A та B. Визначити траєкторію, спускаючись по якій під

дією сили тяжіння, тіло, починаючи рух з точки A досягне точки
B за найкоротший час (при цьому не враховується сила тертя).
Задача цариці Дідони: знайти, яку максимальну площу

можна охопити лінією ()yx , яка починається в точці x  , а
a
закінчується в x b , якщо довжина цієї лінії фіксована.
Для задачі про брахістохрону використовується така схема

розв’язку (рис. 1.2.1):

10