Page 12 - 4818

b
() 
Ft  f ( )x dx  max

a
за умови
b
 1 f dx l  2  const .

a
Варіаційною задачею для функціоналу називається задача

пошуку екстремуму функціоналу.
Основна лема варіаційного числення: якщо для кожної
( ) 0
неперервної функції ()gt , що задовольняє умову ()gt  gt ,
0 1
t 1
 f () ()tg t dt  0 (1.2.6)

t 0

де ()f t – неперервна на  ;tt функція, то () 0f t  на цьому ж
1
0
відрізку.
Оскільки рівність (1.2.6) справедлива для будь-якої функції
g ()t , то візьмемо ()g t  f ()t . Тоді

t 0
 f 2 ()tdt  0,

t 1

а інтеграл невід’ємної неперервної на відрізку  ;tt функції
1
0
дорівнює нулю тільки в тому випадку, коли () 0f t  . Зауважимо,
що в такому випадку виконуються умови ()ft  ft 1
( ) 0 .
0
Дослідимо на екстремум функціонал виду:

t 1
0 
() 
Ff  ( , ,t f f  )dt . (1.2.7)
t 0
Шукана функція задовольняє умовам:
f ()t  f 0 ; f ( )t  f . (1.2.8)
1
1
0
Задача знаходження екстремуму (1.2.7) за умов (1.2.8)
називається варіаційною задачею з закріпленими граничними
точками.

Необхідною умовою екстремуму функціоналу є:
 F  0,

тому:

12