Page 65 - 4777

2
3) ні максимум i ні мінімум, якщо АС  В  0 ;
(68)
4) екстремумом може бути а може і не бути (потрібні
2
додаткові дослідження), якщо АС  В  0 .
(69)
Тут введено такі позначення:
2 2 2
А  х ( f 0 у , 0 / ) х  ; В   х ( f 0 у , 0 / )  х у ;
2 2
С   ( f х 0 у , 0 / ) у  . (69)
Приклад. Дослідити на екстремум функцію
3
3
z  x  y  3 ху.
Розв'язання.
1) Знайдемо критичні точки, використовуючи
необхідні умови екстремуму:
2
 /z х  x3  у3    , 0

 /z у  у3 2  х3   . 0 
Звідси маємо дві критичні точки:
М(1,1) і N(0,0).
2) Знайдемо частинні похідні другого порядку:
2
2
 2 / z  х  6 х ,  2 / z  х у   3 ,  2 / z  у  6 у .
3) Обчислимо ці похідні у першій критичній точці:
А  2 / z х  2  6 ; В  2 / z  х у   3 ; С   2 / z у  2  6 ;
М М М
2
АС  В  36  9  27  0 ; А > 0.
За достатніми умовами (67) у точці Μ функція досягає
мінімуму:
) 1 , 1 ( z  1 1 3  1.
4) Обчислимо у другій критичній точці частинні
похідні другого порядку, маємо:
2
А = 0, В = –3, C = 0; АС – Β = –9 < 0.
Отже, за (68) у точці N(0,0) функція не має
екстремуму.

65