Page 61 - 4777

похідні f  , f  , f  . Похідні f  і f  звуть мішаними
ух ху уу ху ух
частинними похідними.
Похідні другого порядку можна знову
диференціювати. Матиме частинні похідні третього порядку,
2
3
їх буде, очевидно, вже вісім:  3 / z х  ,  3 / z  х у ,  3 / z  х у z ,….
Взагалі, частинна похідна п-го порядку є перша
похідна від похідної (n-1)-гo порядку.
3 2 2 х 2 3
Приклад. Обчислити  / z х  у  , якщо z  у e  х у  4 .
Розв'язання. Послідовно маємо:
х
3
3
2
х
 / z  х  у 2 e  2 ху ;  2 / z  х  у 2 e  2 у ;
х
2
2
 3 / z  х  у  2 уe  6 у .
Природно поставити запитання, залежить чи
результат диференціювання від послідовності
диференціювання по різним змінним, тобто, чи будуть,
2 2
наприклад, тотожньо рівними похідні  / f  х у і  / f  у х . На
це питання відповідає теорема.
Теорема. Якщо функція z = f(x,y) і її частинні похідні
f  , f  , f  , f  визначені, неперервні у точці М(x,y) і в деякій
х у ху ух
її околі, то в цій точці
 2 / f  х у  2 / f  у х , ( f  = f  ).
ху ух
Доведення. Розглянемо вираз
А  х ( f (   у , х   ) у  ( f х   у , х )) у , х ( f (   ) у  у , х ( f ))..
Якщо введемо допоміжну функцію  ) х ( , визначену
рівністю
(  ) х  ( f у , х   ) у  ) у , х ( f ,
то А можна записати у вигляді
А  х (    ) х  ) х (  .
Оскільки, припустили, що f  визначена у околі точки
х
М(х,у), то, отже, ( ) х диференційовна на відрізку [ х , х   ] х ;

61