Page 60 - 4777

вектора, на який проектують.
z 
4
4
3
Приклад. z = x + y + 2x y , l =(3,4) . Знайти в
l 
точці M (1; 2).
grad z  (z ' , x z ' y )
z   4x 3  2y   x 2     x 3     x 2 y  4 12 16 ,
x

     z y 3     x 3       2     
y
grad z (M) = (16; 34)
grad z l  16 3  34 4 
 z = пр grad = = =
z
l
 l l 9  16
48  136 184
  36 8 , .
5 5

9. Частинні похідні та повні диференціали вищих
порядків. Незалежність результату від порядку
диференціювання.

Якщо функція z = f(х,у) має в усіх точках деякої
відкритої області D частинну похідну за однією із змінних, то
ця похідна, сама є функцією цих змінних і може, в свою чергу,
мати частинні похідні по х або по у. Для даної функції z =
f(х,у) ці похідні є частинними похідними другого порядку.
Так, розглянемо границю
lim f (  х х (   ) у , х  f х у , х (  )) /  х  f хх ) у , х (  
 х 0
Якщо ця границя існує, то кажуть, що функція має
другу частинну похідну за х. Цю похідну позначають f  ) у , х ( ,
хх
2
2
або  2 / f х  , або  2 / z х  , або z  . Аналогічно визначають
хх

60