Page 62 - 4777

але тоді за теоремою Лагранжа маємо А  х х (  ), де х 1,
1
знаходиться між х та х  х . Але
х (   )  f х (  у ,   ) у  f х (  ) у , .
1 х 1 х 1
Оскільки f  визначена у околі точки М(х,у), то f 
х
ху
диференційовна на відрізку [у, у +Δу], тому, застосувавши до
останньої різниці знову теорему Лагранжа (по змінній у),
матимемо
f х х (  1 у ,   ) у  f х (  х 1 ) у ,   f у ху х (   1 у , 1 ) ,
де у знаходиться між у та у  у .
1
Отже, початковий вираз А дорівнює
А   х f у ху х (   1 у , 1 ). (61)
Якщо у початковому виразі А переставимо середні
члени і виконаємо з цим виразом аналогічні перетворення,
дістанемо
А   х f у ух (   х 2 у , 2 ), (62)

де х( 2 у , 2 ) деяка точка у околі точки М(х,у).
Ліві частини рівностей (61) і (62) дорівнюють А, отже,
дорівнюють і праві, тобто
 х f у   х( у , )   х f у (   х у , ) ,
ху 1 1 ух 2 2
звідки
f   х( у , )  f  х ( у , ),
ху 1 1 ух 2 2
Перейдемо до границі коли х  0 і у  0 , маємо
lim f ху   х( 1 у , 1 )  lim f ух х (   2 у , 2 ) ,
 х 0  х 0
 у 0  у 0
Оскільки похідні f  і f  неперервні у точці М(х,у) і
ху
ух
її околі, то
lim f ху (   х 1 у , 1 ) f ху ) у , х (   і lim f ух х (   2 у , 2 )  f ух ) у , х (   .
 х 0  х 0
 у 0  у 0
Таким чином:
f ху   х( ) у ,  f  ух ) у , х ( ,

62