Page 63 - 4777

що і треба було довести.
 
Приклад. z  e х sin y . Довести z  z  .
ух
ху
Розв'язання. z  / х  e х sin y ;  2 / z  х у  e х сosy ;
z  / у  e х сosy;  2 / z  у х  e х сosy .
 
Отже, z  z  .
ху ух
2
Приклад. z = x sin y. Знайти похідні другого порядку і
’’
z в точці М (1;  ).

z‘
х = 2x sin y
z’ 2
у = х cos y
z‘’ 2 
х = 2 sin y = 2 sin = 2

z ‘’  2  0 
хy = 2x cos y = 2 cos = 0  z    . 

  0  1 
z‘’ 
yx = 2x cos y = 2 cos = 0

z‘’ 2 2 
y = x (-sin y) = 1 (-sin ) = - 1.


10. Формула Тейлора для функції декількох
змінних.

11. Локальні екстремуми функції декількох
змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму.

Нехай функція z = f(x,y) визначена у відкритій області
D і точка М ( х 0 у , 0 ) D . Кажуть, що функція f(х,у) має у точці
M максимум (мінімум), якщо існує такий ε окіл точки

63