Page 64 - 4777

М х ( у , ), що для усіх точок цього ε - околу виконується
0 0
нерівність
) у , х ( f  ( f х у , ) f( ) у , х (  х ( f у , )). (63)
0 0 0 0
Максимум і мінімум функції звуть екстремумами.
Дане вище визначення максимуму (мінімуму) функції
можна перефразувати таким чином. Нехай х  х   х ,
0
у  у   у ; тоді
0
( f ) у , х  х ( f у , )  ( f х   у , х   ) у  х ( f у , )  f  .
0 0 0 0 0 0
(64)
Якщо  < 0 ( f > 0) для всіх достатньо малих
f
приростів незалежних змінних, то функція f(х,у) досягає у
точці М х ( у , ) максимуму (мінімуму).
0 0
Ці формулювання переносять без зміни на функції
будь-якого числа змінних.
Необхідні умови існування екстремуму. Якщо у точці
М х ( у , ) функція z = f(x,y) досягає екстремуму, то кожна
0 0
частинна похідна першого порядку від z при цих значеннях
аргументів дорівнює нулю, або не існує.
Точки, де z  і z  (або не існує), звуться


0
0
х
у
критичними (стаціонарними) точками функції z = f(x,y).
Достатні умови існування екстремуму. Нехай у
області, яка містить точку М х ( у , ), функція z = f(x,y) має
0 0
неперервні частинні похідні до третього порядку включно і,
крім того, точка М х ( у , ) є критичною точкою функції z =
0 0
f(x,y), тобто
( f  х у , / )  х  0 , f х ( у , / )  у  0 . (65)
0 0 0 0
Тоді (f х 0 у , 0 ) :
1) максимум, якщо АС  В  0 і А < 0;
2
(66)
2
2) мінімум, якщо АС  В  0 і А > 0;
(67)

64