Page 59 - 4777

Фізичний зміст z це швидкість зростання функції в
l
даному напрямку.
’
’
Частинні похідні z x та z y – це похідні в напрямках
осей О х та О у відповідно, тобто в напрямках i, .
j
Властивість похідної в напрямку. Похідна залежить
тільки від напрямку і не залежить від довжини вектора l :
 ' , якщо k  0
 z l
z (M) = 
l k '
 , якщо k  0
 z l
Справедлива теорема: якщо функція
диференційована в точці М то похідна в напрямку l дорівнює
проекції вектора-градієнта функції z в точці М на вектор l :
'
z l (M )  пр grad z (M ).
l a b
пр b 
Нагадування:

a
a
a b  a x b  a y b y
x

2 2
a  a x  a y
Доведення теореми.  z  z tl  z tl   (tl ,tl ) ,

2
l x 1 y 2  1 
дуже мале
 z
z = lim l =
l t  0 l t
z tl  z tl   (tl ,tl ) z l  z l   (tl ,tl )
lim x 1 y 2 1 2  x 1 y 2  lim 1 2 .
t  0 t 0 2 2
l t l  (tl 1 )  (tl 2 )
         
0
np grad z
l
Зауваження. Проекція вектора на вектор також не
залежить від довжини

59