Page 57 - 4777

dy / dx   2 / x 2 y   / x y .
2) Розглянемо функцію
F(x,y,z) = 0. (58)
Якщо кожній парі чисел х і у у деякій області
відповідає одне або декілька значень z, які задовольняють
(58), то це рівняння неявно визначає одну або декілька
однозначних функцій z від х і у.
2
2
2
2
Приклад. Рівняння х  у  z  R  0 неявно визначає
дві неперервні функції z від х і у, які можна виразити явно,
розв'язавши відносно z. У цьому разі маємо:
2
2
2
2
2
2
z  R  х  у і z   R  х  у .
Знайдемо частинні похідні функції z від х і у, що
визначається рівнянням (58). Коли шукаємо z  / x , вважаємо у
сталим. Тому тут можна застосувати формулу (57), якщo
незалежною змінною вважати х, а функцією z. Отже,

z   ( F / ) х  /( F / ) z  . (59)
х
Так само знаходимо

z   ( F / ) у  /( F / ) z  . (60)
у
Припускається, що F  / z  0 .
Аналогічно визначають частинні похідні неявних
функцій більшого числа змінних.
Приклад. Обчислити частинні похідні функції
z 2
е  х у  z  5  0 .
z 2
Розв'язання. Тут F(х, у, z) = е  х у  z  5  0 ,
2 z
 F /  х  2 ху ; F  / у  х ; F  / z  е  1.
Отже,
z
z
 / z  х  (  2 ху ) /( е  ) 1 , z  / у  х (  2 ) /( е  ) 1 .

8. Похідна за напрямом. Градієнт функції.

57