Page 56 - 4777

Розглянемо функцію F(x,y) = 0.
Теорема. Нехай функція у від х дана неявно і F(x,y),
F(x,y), F (x,y) - неперервні функції у деякій області D,
х
у
координати (x,y) довільної точки М  задовольняють
D
рівнянню F(x,y) = 0, крім того, у цій точці F у ) у , х (  0 . Тоді:

у   F / ) у , х (  F ) у , х (  .
х х у
Доведення. Нехай деякому значенню х відповідає
значення функції у і при цьому F(x,y) = 0. Дамо незалежній
змінній х приріст  . Функція у матиме приріст  , тобто
х
у
значенню аргументу х  х відповідає значення функції у  у .
Оскільки F(x,y) = 0 будемо мати F( х  х , у  у ) = 0. Отже:
F( х  х , у  у ) – F(x,y) = 0.
Зліва повний приріст функції двох змінних, який
можна переписати так (див. вище):
( F / ) х   х  ( F / ) у   у   х   у  0 ,
1 2
де  і  прямують до нуля, коли х і у прямують
1
2
до нуля. Розділимо останню рівність на  і обчислимо
х
 х / у :
 / у  х   ( F /  х  ) /( F /  у  ) .
1 2
Спрямуємо х до нуля. Тоді, маючи на увазі, що при
цьому  і  теж прямують до нуля і що F  / у  0 , у границі
2
1
матимемо

у   ( F / ) х  /( F / ) у  . (57)
х
Довели існування похідної у від функції, заданої
х
неявно, і знайшли формулу для її обчислення.
2 2
Приклад. Рівняння х  у  1  0 визначає у як неявну
функцію від х. Тут
2 2
F(x,y) = х  у  1; F  / х  2 х ; F  / у  2 у .
Отже, за формулою (57)

56