Page 54 - 4777

Рівність (54) з урахуванням рівностей (55) можна
переписати так:
dz  ( F / u  ) du  ( F / ) v  dv , або dz  z   du  z   dv .
u v
(56)
Розглядаючи (53) і (56), можемо сказати, що вираз
повного диференціала функції декількох змінних має той же
вигляд, тобто форма диференціала інваріантна, чи є v i u
незалежними змінними або функціями незалежних змінних.
Приклад. Знайти повний диференціал складної
функції:
3
у
z  u 2 v , де u  x 2 sin y і v  x 3 е .
Розв'язання. За формулою (56) маємо
3 2 2 3 2
dz  uv2 du  u3 v dv  uv2 ( 2 х sinу dх  х cosу dу ) 
2 2 2 у 3 у
 u 3 v ( 3 х е dх  х е dу ).
Останній вираз можна перетворити до вигляду:
dz  x 12 sin ye 3 у ( 13 sin dx  ( x 2 cos y  3 sin ) у dy ).

7. Неявно задані функції та їх похідні.

Нехай функція однієї змінної y = y (x) задана неявно,

F (x, y) = 0
тобто рівнянням ,
де , де F – функція двох змінних.
Візьмемо диференціали з обох частин цього рівняння:
dF = 0 і, оскільки, формула диференціалу правильна і тоді
коли х чи у є внутрішніми функціями,
’
’
dF = F x dx + F у dy,
’
’
F x dx + F у dy = 0.
З цього рівняння знайдемо похідну:

54