Page 52 - 4777

u  ) y , x (  , v  ) y , x ( . (48)
Звичайно, z можна виразити і безпосередньо через х і
у таким чином:
z  ( F y , x (  ),  y , x ( )) , (49)
але це може призвести до дуже складної функції.
Припустимо, що функції F(u,v), φ(x,y), ψ(х,у) мають
неперервні частинні похідні за усіма своїми аргументами.
Поставимо задачу: обчислити z  / y і z  / x , відштовхуючись
від рівнянь (47) і (48).
Дамо аргументу х приріст x , зберігаючи значення у
незмінним. Тоді в силу рівнянь (48) u і ν одержать прирости
y
 x u і  .
x
Але якщо u і ν одержать прирости  і  , то
u
y
x x
функція z  ) v , u ( F одержить приріст z , який обчислюють за
формулою (42):
z   (  F / u  ) u  ( F /  ) v  v   u   v .
x x 1 x 2 x
Розділимо усі члени цієї рівності на x :
 / z  x  ( F / u  ) / u  x  ( F /  ) v  / v  x   / u  x   / v  x
x x 1 x 2 x
.
Якщо x  0 , то  x u  0 і  x v  0 (u і ν неперервні).
Тоді і  1  0 ,  2  0 . Зробивши граничний перехід, коли
 x  0 , маємо:
lim  / z  x  / z  x  ; lim  x u /  x  u  / x  ;
 x 0  x 0
lim  x / v  x  / v  x  ;
 x 0
lim  1  0 ; lim  2  0 .
 x 0  x 0
і, отже,
 / z  х  ( F / u  )( u  /  ) х  ( F / v  )( / v  ) х  . (50)
Аналогічні перетворення з аргументом у дає:
 / z  y  ( F / u  )( u  /  ) y  ( F / v  )( / v  ) y  . (51)

52