Page 53 - 4777

Для випадку більшого числа змінних формули (50) і
(51) звичайним чином узагальнюють.
6. Повна похідна. Якщо маємо функцію z = F(x,y,u,v),
де у, u, і ν у свою чергу залежать від одного аргументу х:
у  ) x ( f , u  ) x (  , v  ) x ( ,
то фактично z є функцією тільки однієї змінної x,
можна ставити питання про визначення повної похідної dz/dx.
Ця похідна обчислюється за формулою (50):
dz / dх   /z х (  /z  )(y dy / dх ) (  /z  )(u du / dх ) 
(  / z  v  )( dv / dх ), (52)
де x  / x  1, а так як y, u і ν - є функції одного х, то
частинні похідні перетворюються у звичайні. Остання
формула має назву повної похідної.
2
Приклад, z  x  y / 1 2 , y  sin x ,
 / z  x  2 x , z  / y  1 /( 2 y ) , y  / x  cos x .
За формулою (52) маємо:
dz / dx   /z x   /z y  dy / dx  x2  /(1 2 y ) cos x 

 2 x  cos x /( 2 sin x ) .
7. Повний диференціал складної функції.
Підставимо вирази (50) і (51) у формулу (44) повного
диференціала
dz  ( / z  ) x  dx  ( / z  ) у  dу . (53)
Маємо
z  ((  /F  )(u  /u  )х (  /F  )(v  /v  dx)х 
 ((  F / u  )( u  /  ) y  ( F / v  )( / v  ) y  dy .
Зробимо такі перетворення правої частини:
z  (  /F  )((u  /u  dx)х (  /u  dy)y ) 
 ( F / v  )(( / v  ) x  dx  ( / v  ) y  dy . · (54)
Але
( u  / ) x  dx  ( u  / ) y  dy  du , ( / v ) x  dx (  / v  ) y  dy  dv .
(55)

53