Page 51 - 4777

Mожна показати це, використовуючи властивість
інваріантності диференціалу
z 
z
v )
dz  z u du  z v dv  z ( u x dx  u y dy ) z ( v x dx  v y dy  ()  u  x   dx 
u 

u
v
v
x
x z
 ( z  u  z v ) dy
y

v
 u  y  
y z

Приклад. z  u 2 v , де u  xsin y , v  x  y

z  v * 2u * sin y  u 2 * 1 * 1
x

z  v * 2ux cos y  u 2 * 1 * 1

y
2)Якщо ф-ція z  z (u , ) v , де u  u (t ),v  v ) (t , тобто u та v є
внутрішніми функціями від змінної t, тоді z є складеною
функцією від одної змінної t і її похідну шукають аналогічно
за формулою.

z  z  u u  z v v
t
t
t
v
Приклад. z  u , де u  tgt, v  sin t
Підставивши u та v отримаємо складну ф-цію
z  ( tgt) sin t , з якої важко взяти похідну. Треба логарифмувати.
А за нашою формулою
1
v
 z  vu v 1 *  u ln u cos* t  (можна тепер
t 2
cos t
1
підставити u та v) sin t( tgt) sin t 1 *  ( tgt) sin t ln( tgt *) cos t .
cos 2 t

5. Частинні похідні складної функції. Припустимо, що
у рівнянні
z  ) v , u ( F (47)
u і v є неперервними функціями незалежних змінних x
і у.

51