Page 49 - 4777

( f  х у ,   / ) у  х  / ) у , х ( f   х  ,
1 1
( f  у , х 1 / )  у  ( f  / ) у , х  у  2 ,
коли х і у прямують до нуля величини  і  теж
2
1
прямують до нуля. Останнє дає можливість переписати вираз
(40) у вигляді:
z   ( / ) у , х ( f   ) х  х  ( / ) у , х ( f   ) у  у  1  х  2  у .
(42)
Сума останніх двох членів рівності (42) є нескінченно
малою величиною. З рівності (42) випливає, що коли функція
f(x,y) має неперервні частинні похідні у даній точці, то вона
диференційовна у цій точці і має повний диференціал
dz  f х ) у , х (   х  f у (  ) у , х  у .
Рівність (42) можна переписати у вигляді
z   dz   х   у ,
1 2
і з точністю до нескінченно малих вищого порядку
маємо приблизну рівність
 z  dz . (43)
Прирости незалежних змінних  х і  у є
диференціалами незалежних змінних х і у, які позначають
відповідно через dx і dy. Тоді вираз повного диференціалу
матиме вигляд
dz  ( / f  ) x  dx  ( / f  ) у  dу . (44)
Приклад. Знайти повний диференціал функції
z  sin 2 xy .
 2  2
Розв'язання. dz  (sin xy ) dx  (sin xy ) dу 
х у
 2у sin xу cos xydx  2х sin xу cos xydу 
( ydx  хdу ) sin 2 xу.
Зауваження. Рівність (43) використовують для
наближених обчислень значень функції z = f(x,y). Для цього
вираз (36) перепиcують у вигляді
х ( f   у , х   ) у  ) у , х ( f  z  , (45)

49