Page 48 - 4777

Припустімо, що f(х,у) у точці (х,у) має неперервні
частинні похідні. З'ясуємо, який вираз має z через частинні
похідні. Для цього у правій частині (36) додамо і віднімемо
f(x,y +у):
z   (f х  х у ,  у )  (f у , х  у )) 
 (( у , х ( f   ) у  ( f у , х )). (37)
Вираз (f(x,y + у) - f(x,y)) можна розглядати як
різницю двох значень функції однієї змінної у (значення x
залишається сталим). Застосовуючи до цієї різниці теорему
Лагранжа, маємо
у , х ( f   ) у  ) у , х ( f   у ( f   у , х 1 / ) у  , (38)
де у розташовано між у і у + у.
Так само вираз, який стоїть у перших дужках рівності
(37), можна розглядати як різницю двох значень функції
однієї змінної х (другий аргумент залишається сталим і має
значення у + у). Застосовуючи до цієї рівниці теорему
Лагранжа, маємо:
( f х   у , х   ) у  у , х ( f   ) у   х х ( f   1 у ,   / ) у х  ,
(39)
де х 1 розташовано між х і х + х.
Одержані вирази (38) і (39) підставимо у (37),
матимемо
 z   х х ( f   1 у ,   / ) у  х   у у , х ( f   1 / ) у  . (40)
Оскільки було припущення, що частинні похідні
існують і неперервні, то
lim х ( f  1 у ,   / ) у  х  / ) у , х ( f  х  , (41)
 х , 0  у 0
lim х ( f  1 у , 1 / )  у  / ) у , х ( f  у 
 х , 0  у 0
(тому що х 1 і у 1 розташовані відповідно між х і х + х,
у і у +у, то коли х  0 і  у  0 х 1 і у 1 прямують до х і у
відповідно). За визначенням границі, рівності (41) можна
переписати у вигляді:

48