Page 46 - 4777

Розв’язання. Знайдемо спочатку частинні похідні:
z 
 sin xy  xcos xy  y  sin xy  xy cos xy ,
x 

z  2
 x cos xy
x 
2
Отже, dz  (sin xy  xy cos xy) dx  ( x cos xy) dy .
Це є повний диференціал заданої функції в довільній
точці ( yx ; ). Щоб знайти диференціали у конкретній точці,
треба замість х і у підставити координати цієї точки.
Наприклад,
dz ) 0 ; 0 (  0  dx  0  dy  0 ,
dz 0;1( )   0 dx 1  dy  dy ,
dz ) 1 ; 0 (  0  dx  0  dy  0,
dz 1;1( )  (sin 1  cos ) 1 dx  cos  1 dy .
Приклад 2. За допомогою диференціала обчислити
2
2
наближене значення функції ( yxf ; )  x  y у точках (3,1;
3,9) і (2,9; 4.1).
Розв’язання. Розглядувані точки лежать поблизу
точки (3; 4), в якій легко обчислити значення функції:
) 4 ; 3 ( f  . 5 Знайдемо диференціал заданої функції в точці (3;
4):

x 3
f  (x ; ) y  ,  f ) 4 ; 3 (   6 , 0
x 2 2 x
x  y 5
y 4
f  (x ; ) y  ,  f ) 4 ; 3 (   8 , 0
yx 2 2 y
x  y 5
Отже,
df 3( ) 4 ;  f  ;3(  ) 4 x  f  ;3(  ) 4 y  6,0  x  8,0  y .
x y
З формули (2) випливає, що

46