Page 45 - 4777

Повний приріст функції можна зобразити у вигляді
суми частинних приростів. Справді,
f  (x ; ) y  f (x  x ; y  ) y  f (x ; y   ) y  f (x ; y   ) y  f (x ; ) y   f (x ; y  ) y 
x
Якщо функція f (x ; ) y має частинні похідні f  (x ; ) y і
x
f  (x ; ) y , то, очевидно,
yx
 f ( x; y ) f ( x; y ) x   x ,
x x
 f ( x; y ) f ( x; y ) y    y ,
y y
де   0 i  0 при x  , 0 y  0.

Добутки f ( x; y ) x і f ( x; y ) y називаються
x y
частинними диференціалами функції f (x ; ) y по х і по у
відповідно.
Якщо функція f (x ; ) y має неперервні частинні
похідні f  (x ; ) y і f  (x ; ) y , то сума частинних диференціалів
x y
df ( x; y ) f ( x; y ) x  f ( x; y ) y
x y
називається повним диференціалом функції ( yxf ; ) в
точці ;( yx )

Прирости незалежних змінних  x i  y звичайно
позначають dx і dy . Тоді
df ( x; y)  f (  x; y) dx  f (  x; y) dy (1)
x y
Можна показати, що
f  ( x; y ) df ( x; y )  x    y ,
де   0 i  0 при x  , 0 y  0. Це твердження
можна сформулювати так: повний приріст функції f (x ; ) y в
точці ( yx ; ) наближено дорівнює диференціалу цієї функції у
тій самій точці, тобто
f  ( x; y ) df ( x; y ) f ( x; y ) x  f ( x; y ) y (2)
x y
Приклад 1. Знайти повний диференціал функції
z  x sin xy .

45