Page 43 - 4777

2
2
M 1 M   x   y при x  , 0 y  0
 (x ,y )
:  , 0 x  , 0 y  0 ,а p 1 , p - деякі числа, то функція
2
M M
1
називається диференційованою в точці М(х,у).
Величиною ( x  , ) y можна знехтувати.
Основна частина приросту називається
диференціалом функції і позначається dz :
dz  p  x  p  y
1 2

dz  z  якщо прирости аргументів x і
 y малі.

Приклад. Знайти приріст і диференціал функції
2
z  x  2 xy в т.М(1,-2).
2 2
 z  z( x  x, y  y ) z( x, y  () x  x)  (2 x  x)( y  y ) x  2 xy 
2
2
2
2
 x  2 x x  x  2 xy  2  xy  2  yx  2  x y  x  2 xy   x 2( x  2 y  2) x y  x  2  x

р р ( x  , ) y
1 2
- нескінченно швидше прямує до нуля ніж відстань
М М при x  0
1
y  0
Отже, dz= (2 x  y ) x  2 x y .
2
 z  2  x  2  y  x  2  x y
В точці М:
dz  2  x  2  y
Теорема. Якщо f диференційована в точці М(х,у), то
існують частинні похідні в т.М, які дорівнюють числам p та
1
p відповідно:
2

43