Page 41 - 4777

Треба зауважити, що, взагалі кажучи, повний приріст
не дорівнює сумі частинних приростів, тобто
 z  х z  у z .
Приклад, z  xy . Тут
 z  ( х  у ) х  ху  у х ,
х
 у z  ( у  х ) у  ху  х у ,

z   х (   х )( у  ) у  ху  у х  х у  х у .
Якщо х = 1; у = 2; х  2 , 0 ; у  3 , 0 . Маємо:
 z  4 , 0 ;  z  3 , 0 ; z  , 0 76 ;  z   z  7 , 0 .
х у х у
Аналогічним чином визначають частинні і повні
прирости функцій будь-якої числа змінних.
Складемо відношення  z до х , яке при фіксованих
х
х 0 і у 0 є функцією приросту х . Якщо існує границя
lim х ( f ( 0   у , х 0 )  х ( f 0 у , 0 )) /  х ,
 х 0
то кажуть, що функція f(x,y) має частинну похідну за х
в точці х( у , ), і записують f  х ( у , ), або z , aбo z  / x , або
0 0 х 0 0 х
( f  х 0 у , 0 / ) х  .
Аналогічно, припустивши що х = х 0, можна
розглянути границю
lim х ( f ( 0 у , 0   ) у  х ( f 0 у , 0 )) /  у .
 у 0
Якщо ця границя існує, то кажуть, що функція f(x,y)
має частинну похідну за у в точці ( х у , ). Цю частинну
0 0
похідну позначають f у (  х 0 у , 0 ), або z , aбo  / z у  , або
у
( f  х 0 у , 0 / ) у  .
Кажуть, що функція має частинну похідну у відкритій
області D, якщо вона має частинну похідну в кожній точці цієї
області.
Частинну похідну функції кількох змінних
обчислюють за тими самими правилами, що й звичайну
похідну.

41