Page 39 - 4777

Якщо взяти точку M (x  x , y  ) y із області
3
визначення функції, то
z  (M )  z (M 3 )  z (M )  z (x  x , y  y ) z (x , ) y
називається повним приростом функції z в точці М.
Означення. Частинною похідною ф-ції z в точці M(х,у)
по змінній х – наз. границя відношення часткового приросту ф-
ції по змінні х до приросту аргументу x , коли x  0 , якщо ця
z 
границя є числом. Позн. z , або :
x
x 
lim  z lim z (x   , x ) y  z (x , ) y

z  x  .
x
 x 0  x  x 0  x
Аналогічно можна шукати частинну похідну по
z 
змінній у. Позн. z або :
y
y 
lim  y z lim z (x , y   ) y  z (x , ) y

z   .
y
 y 0  y  y 0  y
Оскільки означення частинної похідної по х співпадає
з означенням похідної ф-ції однієї змінної х при сталому у, то
частинну похідну z можна шукати за табличкою похідних і
x
правилами диференціювання ф-ції однієї змінної, вважаючи х
змінною, а у сталою.
Аналогічно шукають z , але тоді у – змінна, а х –
y
стала.
Приклад.
z  x 3 2  4 xy  y 2

z  6 x 4 y 0
x

z  0  4 x 2 y
y
Нехай треба знайти частинні похідні в точці М(3;0),
тоді

39