Page 37 - 4777

Приклад 1. Знайти частинні похідні першого і другого
порядків функції
xy
z  e  ysin x
Розв’язання. Спочатку знайдемо частинні похідні
першого порядку:
z  xy z  xy
 ye  y cos , x  xe  sin x .
x  y 
Потім знайдемо немішані похідні другого порядку:
 2 z 2 xy  2 z 2 xy
 y e  ysin x ,  x e .
x  2 y  2
Для мішаних похідних маємо
  z   xy xy xy   z 
   ( ye )  cos x  e  xye  cos x    

y  x  y x  y 
 2 z
xy
xy
і, отже,  e  xye  cos x .
 x y
Приклад 2. Знайти частинні похідні функції
z  f (x ; ) y , яка задовольняє рівняння
xz  ytgz  xy  1.
Розв’язання. Продиференціюємо цю рівність по х,
вважаючи змінну z функцією від х і у. В результаті дістанемо
рівняння
z  1 z 
z  x  y  y ,
x  cos 2 z x 
з якого маємо
 z  y 
x     y  z .
 x  cos 2 z 
z  ( y  z cos) 2 z
 .
x  xcos 2 z  y
Аналогічно знаходимо частинну похідну по у:

37