Page 36 - 4777

3
2
3
3
f  (x ; ) y  (x 2 y  y 3 (x  y  2x  2xy ,
) 
) 
x x x
3
2
2
f  (x ; ) y  ( yx 2 3 )  x 3 (y  x  3y  3 yx 2 2 .

) 
y y y
Аналогічно, якщо z  x 2 y  xsin xy , то
z   2 
 x ( y  xsin xy)  y 2 x  ( xsin xy)  2 xy sin xy  xycos xy
x  x  x 
,
z   2 2 2
 x ( y  xsin xy)  x  x cos xy
y  y 
Частинні похідні f  (x ; ) y і f  (x ; ) y функції f (x ; ) y ,
x y
якщо вони існують в кожній точці ( yx ; ) деякої області, самі є
функціями двох змінних. Отже, для них також можна
розглядати частинні похідні.
Частинні похідні від частинних похідних
f  f 
i називаються частинними похідними другого порядку
x  y 
функції ( yxf ; ) . Очевидно, функція ( yxf ; ) двох змінних має
чотири частинні похідні другого порядку:
 f   f   f   f 
( ), ( ), ( ), ( ),
x  x  y  x  x  y  y  y 
 f   f 
Похідні ( ), і ( ), називаються частинними
x  x  y  y 
похідними другого порядку по х і по у відповідно і
 2 f  2 f  f   f 
позначаються i . Частинні похідні ( ), і ( ),
x  2 y  2 y  x  x  y 
називаються мішаними похідними другого порядку. Можна
довести, що коли мішані похідні неперервні, то вони рівні. У
 2 f
цьому разі позначають .
 x y

36