Page 34 - 4777

Число А наз. границею ф-ції ( yxf ; ) в т. ( x ; y ) ,
0 0
якщо для будь-якої послідовності точок площини Оxy
M (x ; y ) , M (x , y ) ,…, M (x , y ) …, що лежать в
1 1 1 2 2 2 n n n
проколотому околі точки M і відстань M M  ,0 n  
0 n 0
відповідні значення ф-ції (Mz n )  z (x n , y n )  A , n . 
Позначення:
lim f ( x, y ) A
x x 0
y y 0
або
f (x , ) y  A , x  x 0 , y  y
. 0

Виконується теорема: границя суми, різниці, добутку,
частки двох функцій дорівнює сумі, різниці, добутку, частці їх
границь (якщо це можна обчислити).
Неперервність функції
Нехай ф-ція z  f (x ; ) y визначена в деякому
проколотому околі точки M (x , y ).
0 0 0
01. Якщо границя функції в точці дорівнює значенню
функції в цій точці, то функція називається неперервною в
точці M (x , y ).
0 0 0
lim f (x , ) y  f (x , y ) (1)
x 0 x 0 0
y 0 y

В точці M (x , y ) графік ф-ції є нерозривною
0 0 0
поверхнею.
02. Якщо порушується умова (1), тобто границя або
значення ф-ції не існують, або не рівні між собою, то точка
M (x , y ) називається точкою розриву ф-ції ( yxf , ) .
0 0 0
Тоді й поверхня має розриви. Ф-ція двох змінних чи
поверхня може мати точки розриву і лінії розриву.

34