Page 31 - 4777

Розвязання.
x 3
1. Функція u  2 2 у точці x = 0, y = 0 не існує,
x  y
тому вона має в цій точці розрив. Знайдемо границю
x 3
lim 2 2 .
x 0 x  y
y 0
Для будь-якого   0 існує   0 , що для всіх точок
x;  y , що задовольняють умову x 2  y 2   і відрізняються
від початку координат, виконується нерівність:

x 3 x 2 2 2
 0  x  x  x  y   .
x 2  y 2 x 2  y 2

x 3
Отже, lim  0 і функція має в точці (0; 0)
x  0 x 2  y 2
y  0
розрив.
1
2. Функція u  не існує, якщо
sin 2 x sin 2 y
2
2
sin x  sin y  0, тобто x  , k  y  k  . Тому може бути, що
1
1
вона має розрив. Знайдемо границю lim 2 2    .
x  k sin x  sin y
y  k 1
1
Отже, функція u  2 2 має в точці (0; 0)
sin x sin y
розрив.

Завдання для самостійної роботи.

3
1. Встановити, чи є множина Е в просторі R
а) зв’язною; б) відкритою; в) областю:
1) E  x 2  y 2   1 ; 2) E  x 2  y 2   1 ;
3) E  5x 2  12xy  22 x 12 y 19 .

31