Page 30 - 4777

2
2) неперервною за кривою y   x ;
3) неперервною.
Розвязання.
 1) Будемо наближатися до точки (0; 0) по прямій
x  t  , y  t ,  2   2  0 , тобто
2
x 2 y  t 2 t  2 t 3  2 t
lim 4 2  lim 4 4 2 2  lim 2 4 2 2  lim 4 2 2  . 0
x  0 x  y x  0  t   t t  0 t ( t   ) t  0  t  
y  0 y  0

Якщо а = 0, тоді задана функція буде неперервною за
заданою прямою.
2) Будемо наближатися до точки (0; 0) по кривій
2
y   x , тобто
x 2 y x 2 x 2 x 4 
lim 4 2  lim 4 2 4  lim 4 2  4 .
x  0 x  y x  0 x   x x  0 x    1   1
y  0


Якщо a  , тоді задана функція буде
 4  1
неперервною за заданою кривою.
x 2 y
3) У точці (0; 0) функція має розрив, бо в
4
x  y 2
точці (0; 0) границя функції не існує. Це випливає із 1) і 2).

Приклад 6. Знайти точки розриву функції двох
змінних:

x 3
1) u  2 2 ;
x  y
1
2) u  2 2 .
sin x sin y

30