Page 29 - 4777

г) Функція визначена, якщо sin  x 2  y 2  0 , тобто
2n  x 2  y 2  2  n 1  n , 0 , 1 , 2 , 3 ...  (рис. 5.17).

O O
2
O

Рис. Рис. 5.16 Рис. 5.17
5.15

x 2 y
Приклад 4. Знайти границю функції lim .
2
x 0 x  y 2
y 0
 Для будь-якого  0 існує   0 (наприклад,    )
таке, що для всіх точок  yx; , що задовольняють умову
x 2  y 2   і відрізняються від початку координат,
виконується нерівність

x 2 y x 2 2 2
 0  y  y  x  y   .
x 2  y 2 x 2  y 2
x 2 y
Отже, lim  0 .
x  0 x 2  y 2
y  0
Приклад 5. Знайти значення а, при якому функція:
 x 2 y 2 2
 , якщо x  y  0
u   x 4  y 2
 2 2
 , a якщо x  y  0
в точці (0, 0) є:
1) неперервною за прямою x t , y  t ,  2   2  0 ;

29