Page 27 - 4777

Область — це множина, для якої виконуються
умови:
1) кожна точка множини — внутрішня точка;
2) будь-які дві точки множини можна сполучити
ламаною, усі точки якої належать множині.
Межова точка області — це точка, будь-який окіл
якої містить точки, які належать і не належать області.
Межа — це сукупність усіх межових точок.
Замкнена область — це множина, до якої приєднані
всі її межові точки.
Функція двох змінних z  f  yx;  вважається заданою,
якщо кожній точці множини D, що належить площині,
поставлено у відповідність за деяким законом одне і тільки
одне дійсне число z  .
R
Границя В функції двох змінних z  f  yx;  при
 ; yx   ; yx 0 0  —
це число, що задовольняє нерівність  yxf ;  B   при будь-
якому   0 , якщо для нього існує таке , що
2
2
2
0  (  xx 0 )  (  yy 0 )   .
Неперервна функція двох змінних xf ;  y у точці
(x 0 ; y 0 ) —
2
це функція, яка визначена на множині D  R , і для якої
lim f (x ; ) y  f (x 0 ; y 0 ).
 ; yx   0 yx ; 0 

Перейдемо до розв’язування прикладів.

Приклад 1. У просторі R дано множину E     21,0  .
Вказати внутрішні, межові точки множини Е у просторі R.
 (0, 1) — усі точки інтервалу внутрішні; x = 0, x = 1,
x = 2 — межові точки.
Приклад 2. Побудувати лінії рівня функції z  x 2 y .
2
 Рівняння ліній рівня має вигляд x 2 y  c або y  c x .
Узявши c  , 0  , 1  , 2 ... , дістанемо сім’ю ліній рівня (рис.
5.13).

27