Page 25 - 4777

D E F

• • •
( ; )u v ( ; )x y f x y( ; )

Рис. 5.12.

3
3
Приклад. Функція z  x  y , де x  sin u  ,
 v
 v
y  cos u  — складна функція. Вона визначена на
координатній площині. Її можна записати у вигляді
z  sin 3 u   v  cos 3 u  .
 v
Означення. Функцію z  f x;  y , яка визначена на
D
множині D R 2 , називають неперервною по множині x в
точці x ; y  D , якщо lim f  ; yx  f  ; yx .
0 0 0 0
 ; yx   ; yx 0 0 
 ; yx  D
Теорема 6. Нехай на множині D визначено складну


функцію z  f x; , де x  x  vu; , y  y  vu; , і нехай функції
 y


x  x  vu; , y  y  vu; неперервні в точці  ;vu  , а функція
0 0
f x;  y неперервна в точці x 0 ; y 0  , де x  x u 0 ;v 0  ,
0
y  y  ;vu 0 0 . Тоді складна функція z  f x  vu;   vuy ;; 
0
неперервна в точці  ;vu  .
0 0
Властивості неперервної функції
двох змінних
Теорема 7. Якщо функція неперервна в точці, то вона
обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема 8. Якщо функції f x; y  та xg ; y  непе-
рервні в точці x ; y  , то в цій точці будуть неперерв-
0 0

25