Page 24 - 4777

 xy 2 2
 2 2 , x  y   0

f  ; yx   x  y
 , 0 x 2  y 2   0

Ця функція має розрив у точці (0; 0), бо в точці для
функції  yxf ;  границі не існує (див. приклад в 5.1.5).
Тут ми спостерігаємо цікаве явище. Функція, що
розглядається, не є неперервною в точці (0; 0) по двох змінних
водночас, але є неперервною по змінних x та y окремо.

Приклад. Точки розриву можуть бути не тільки
ізольованими, як у попередньому прикладі, а й заповнювати
2
x  y 2
лінії, поверхні і т. п. Так, функції двох змінних  ; yxf   ,
2
x  y 2
1
f  ; yx   мають розриви: перша — прямі y   x , друга
x 2  y 2  1
— окіл x 2  y 2  1.
x  y  z
Для функції трьох змінних f x; y;  z  ,
xy  z
1
f x; y; z    2 2 2 розриви заповнюють у першому
x  y  z
випадку гіперболічний параболоїд z  xy , а в другому — конус
2
2
2
z  x  y .
Означення. Нехай функція z  f  yx;  визначена на
мно-
жині Е, а змінні x і y, у свою чергу, залежать від змінних u

та v і x  x  vu; , y  y  vu; , де обидві функції  vux ; та  vuy ;
визначені на множині D. Якщо для будь-якого   Dvu; 
значення  vux ; ,  vuy ; такі, що  yx;  E (рис. 5.12), то
кажуть,
що на множині D визначена складна функція z  f  yx; , де

x  x  vu; , y  y  vu; ; x, y — проміжні змінні, u, v —
незалежні змінні.

24