Page 22 - 4777

1
xsin  y
x
2) xf ;  y  або
x  y
1
3) xf ; y  x sin .
y
В обох випадках існує повторна границя lim lim ,
f
y  0 x 0
але немає повторної границі lim lim (в останньому прикладі
f
x  0 y 0
навіть не існує простої границі lim ).
f
y 0
Приклади показують, що можливість перестановки
границь повинна бути обґрунтована. У зв’язку з цим
виконується наступна теорема, що встановлює зв’язок між
подвійною і повторною границями.
Теорема 5. Якщо 1) існує (скінченна або ні)
подвійна границя
A  lim f x;  y
x a
y b
і 2) при будь-якому у з Y існує (скінченна) звичайна
гра-
ниця по х   y  lim f x;  y , то існує повторна границя
x  a
lim   y  lim lim f x;  y , яка дорівнює подвійній границі.
y b y b x a

 Доведемо це для випадку скінченних А, а і b. Згідно
з означенням за заданим   0 знайдеться таке   0 , що
f x; y  A   , якщо тільки x  a   і y  b   (причому х
береться з Х, а у з Y). Зафіксуємо у так, щоб виконувалась
нерівність y  b   і перейдемо в xf ; y  A   до границі при
x  a .
За умовою 2) xf ;  y прямує до  y , тому

   Ay  .

22