Page 23 - 4777

При фіксованому у з Y, що задовольняє умову
y  b   , маємо A lim  y  lim lim f x;  y , що й треба було
y b y b x a
довести.
Якщо поряд з умовами 1) і 2) при будь-якому х з Х
існує (скінченна) звичайна границя по у  x  lim f x;  y , то,
y b
як випливає з доведеного, існує також і друга повторна
границя lim   x  lim f x;  y , що дорівнює також числу А (в
x a x a
цьому випадку обидві повторні границі однакові).
З теореми 5.5 випливає, що в прикладах 1) і 2)
подвійна границя не існує.
У прикладі 3), навпаки, подвійна границя існує: 3
1
нерівності xsin  x випливає, що вона дорівнює нулю.
y
Не обов’язково існування подвійної границі
необхідне для рівності повторних.
xy
У прикладі lim обидві повторні границі
2
x 0 x  y 2
y 0
існують і
рівні 0, але подвійної границі немає.

Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція z  f  yx;  називається
неперервною в точці  ; yxP , якщо lim f  ; yx   f  ; yx .
0 0 0 0 0
x 0 x
y 0 y
Означення. Функція z  f  yx;  називається
неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона
неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних
змінних

23