Page 20 - 4777

справа, і зліва, і зверху, і знизу, і під кутом 30 до осі Ох тощо
(рис. 5.10).

y y
0 • 0 •

O x 0 x O x 0 x

Рис. 5.10 Рис. 5.11

Більше того, до точки можна наближатися не тільки
по прямій, а й по більш складних траєкторіях (рис. 5.11).
Очевидно, що рівність lim f  yx;  b правильна
x; y  x 0 ; y 0 
тоді й тільки тоді, коли границя дорівнює b при наближенні
до точки  ; yx  по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш
0 0
обмежене, ніж збіг двох односторонніх границь у випадку
функції однієї змінної.

xy
Приклад. Довести, що lim 2 2 не існує.
 ; yx   0;0  x  y
 Будемо наближатися до точки (0; 0) по прямій
y  kx. Якщо y  kx, тоді
xy xkx k
lim 2 2  lim 2 2 2  2 .
 ; yx   0;0  x  y  ; yx   0;0  x  k x 1 k
Зауважимо, що значення границі залежить від
кутового коефіцієнта прямої, наприклад:
при k 1 границя дорівнює 1 .
2
при k 2 границя дорівнює 2 і т. п.
5
Таким чином, якщо наближатися до точки (0; 0) з
різ-

20