Page 21 - 4777

них напрямків, то дістанемо різні значення, тобто границя
xy
lim 2 2 не існує.
 ; yx   0;0  x  y

Зауваження. Нехай дано функцію двох змінних
z  f x;  y . Розглянемо границі, які дістаємо після послідовних
граничних переходів за кожним із аргументів окремо в тому
чи іншому порядку.
Якщо при будь-якому фіксованому y з Y існує для
функції
f(x; y) (яка буде функцією від х) границя при х → а, то ця
границя, взагалі кажучи, буде залежати від наперед
фіксованого у:
lim f x;  y     y .
x a
Далі постає запитання про границю функції  y
при y  b lim:   y  lim lim xf ;  y — це буде одна із двох
y b y b x a
повторних границь. Іншу дістанемо, якщо границі візьмемо
в зворотному порядку

lim lim f x,  y .
x a y b
Повторні границі не обов’язково рівні.

Приклад. Нехай
2
x  y  x  y 2
1) xf ;  y  і а = b = 0, тоді:
x  y
   limy f  ; yx   y  1, lim   limy lim f  ; yx    1,
x  0 y  0 y  0 x  0
але водночас    limx f  ; yx   x  1,
y  0
lim   limx lim f  ; yx  1 . Отже, 1  1.
x  0 x  0 y 0
Може статися так, що одна з повторних границь
існує,
друга — ні.
Розглянемо приклади.

21