Page 19 - 4777

2
x  y 3
Приклад. Обчислити lim .
x; y   2;1  x 32  y
 Згідно з теоремами про арифметичні операції з
границями, а також те, що границя сталої дорівнює сталій,
тобто lim x  1, lim y  2, маємо
 ; yx   2;1  ; yx   2;1

x 2  y 3 x; lim  2 x 2  y 3 
y
  ;1
lim  
x; y   ;1 2  x2  y3 lim  x 32   y

x; y   2;1 
lim x 2  lim y 3 3
9
  ; yx   2;1   ; yx   2;1   1 2   .
lim 2 x lim 3 y 2  3 2 4
 ; yx    2;1  ; yx   2;1 
ln 1 2 xy 
Приклад. Обчислити lim .
x 0 sin 3 xy
y  0
t
 Візьмемо xy  . Тоді з того, що  ; yx   0;0 
випливає t 0 і задану границю можна переписати у вигляді
ln( 1 2 t)
lim . При t 0 маємо 1ln  2  t ~ t 2 ; sin 3 t ~ t 3 , тобто
t 0 sin t 3
ln   t21  2t 2 1 2xy  2
lim   lim  . Таким чином, lim  .
t  0 sin t 3 t  0 3t 3  ; yx   0;0  sin 3xy 3
Зауваження. Між поняттями границі в точці для
функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато
спільного, але є й принципова відмінність, яка робить поняття
границі функції кількох змінних суттєво більш обмеженим,
ніж поняття границі функції однієї змінної.
Річ у тім, що коли lim f   bx  (  xf — функція однієї
x a
змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння
границі дорівнюють b. Правильним є й обернене: з існування
та збігу двох односторонніх границь випливає існування
границі функції в точці.
Для функції двох змінних z  f (x ; ) y наближатися до
точки (x 0 ; y 0 ) можна нескінченною множиною способів: і

19