Page 18 - 4777

2 2 2
0    xx     yy    виконується нерівність  yxf ;  B   і
0 0
позначається lim f  yx;   або lim f  yx;   .
B
B
x; y  x 0 ; y 0  x x 0
y y 0
Зауваження. Для функції багатьох змінних
справедливі
теореми про границю суми, добутку та частки, які анало-
гічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної
змінної.
Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція z  f x;  y має границю при
 ; yx   x ; y , то вона єдина.
0 0
Теорема 2. Якщо функція z  f x;  y має границю
при  ; yx   x ; y , то вона обмежена в деякому околі точки
0 0
x 0 ; y 0 .

Теорема 3. Якщо
lim f x; y  b , lim g x;  y 
c
x; y  x 0 ; y 0   x; y  x 0 ; y 0 
і в деякому околі точки x 0 ; y 0  виконується нерівність
c
f x;  y  g x;  y , то b  .

Теорема 4. Нехай
lim f x; y  b , lim g x;  y  .
c
x; y  x 0 ; y 0  x; y  x 0 ; y 0 
Тоді:
1) lim  f x;  y  g x; y   b  c ;
x; y  x 0 ; y 0 
2) lim f x; y  xg ;  y  b c  ;
x; y  x 0 ; y 0 
f  ; yx  b
3) lim   c  0 .
 ; yx   0 ; x 0 y   ; yxg  c

18