Page 96 - 4754

94

7. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ТИПИ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

7.1. Рівняння з двома змінними як рівняння лінії

Співвідношення

F 1 (x , y) = F 2(x , y)

називається рівнянням з двома змінними. Його можна подати у

стандартному вигляді

F(x , y) = 0 .

Тут F 1 (x , y), F 2 (x , y) і F(x , y) – деякі вирази.

Зображення множини розв’язків даного рівняння на координатній площині

Oxy називається графіком цього рівняння.

Звичайно графіком рівняння служить деяка лінія. Наприклад, а) графіком

2
2
рівняння x + y = 1 є коло з центром у початку координат O(0;0) і радіусом R =
2 2
1 (дійсна лінія); б) графіком рівняння x + y = 0 є одна точка – початок
2
2
координат O(0;0) (вироджена лінія); в) рівняння x + y = -1 ніякого графіка не
має (уявна лінія).

Зауваження 1. Вигляд рівняння лінії залежить як від самої лінії, так і від

вибору системи координат.

Зауваження 2. Говорять, що лінія задана неявно, якщо її рівняння має

вигляд F(x , y) = 0 або F 1(x , y) = F 2 (x , y). Якщо рівняння лінії розв’язане

відносно змінної y , то говорять, що лінія задана явно рівнянням y = f (x), де f

(x) – деякий вираз. Лінія може задаватись системою рівнянь x = x(t) і y = y(t ), де

t – допоміжна змінна (параметр), x(t) і y(t) – деякі вирази. Тоді говорять, що

лінія задана параметрично. Наприклад, траєкторія руху матеріальної точки в

механіці часто задається в параметричній формі, при цьому роль параметра t

відіграє час.

Правило 1. Щоб встановити, чи лежить указана точка M 0 (x 0 ; y 0) на

даній лінії l : F(x , y) = 0 , треба перевірити, чи задовольняють координати

точки рівняння лінії:
F ( x 0 y , 0 )  0  M 0  l ; (F x 0 y , 0 )  0  M 0  l .