Page 90 - 4754

88


Прямі l 1 і l 2 перетинаються, коли вектори s 1  ( m 1 ; n 1 ; p 1 )і

 
s 2  ( m 2 ; n 2 ; p 2 )і M 1 M 2  ( x 2  x 1 ; y 2  y 1 z ; 2  z 1 ),

– компланарні (лежать в одній площині). Використовуючи умову

  
компланарності трьох векторів ( M 1 M  s 1 ) s  2  0 , одержуємо умову
2
перетину двох непаралельних прямих:

x 2  x 1 y 2  y 1 z 2  z 1

m 1 n 1 p 1  0 .

m 2 n 2 p 2

Зауваження 1. Для довільних прямих l 1 і l 2 ця рівність служить умовою їх

належності одній площині. Якщо ця умова не виконується, то прямі l 1 і l 2 є

мимобіжними.

Щоб знайти відстань між мимобіжними прямими l 1 і l 2, розглянемо
  
вектор а  s 1  s , який перпендикулярний до обох прямих. Тоді відстань d
2
між прямими l 1 і l 2 дорівнює модулю проекції вектора

 
M 1 M 2  ( x 2  x 1 ; y 2  y 1 z ; 2  z 1 ) на вектор а

        

d  M 1 M 2 / a  M 1 M 2  s 1  s 2  / s 1  s 2 .


 
Зауваження 2. Ця формула справедлива також для прямих l 1 і l 2, що
перетинаються. Зрозуміло, що при цьому d = 0 .

Приклад. Знайти відстань d між заданими прямими:

x  2 y  5 z  3 x y  2 z  3
l 1:   і l 2:   .
2  3 2 1  1 2

  
і j k
     
□ a  s 1  s 2  2  3 2  4 і  2 j  k .

1  1 2