Page 88 - 4754

86

6.11. Пряма як перетин двох площин. Загальні рівняння прямої

Просторова лінія може задаватися як перетин двох поверхонь. Зокрема,

пряма l служить лінією перетину деяких двох площин α 1 і α 2. Якщо ці площини

задані своїми загальними

 1 : A 1 x  В 1 y  C 1 z  D  0 і  2 : A 2 x  В 2 y  C 2 z  D 2  0
1

то система

 A 1 x  В 1 y  C 1 z  D 1  0

A
 2 x  В 2 y  C 2 z  D 2  0
називається загальними рівняннями прямої.

Зауваження 1. Загальні рівняння прямої визначаються неоднозначно.

Зауваження 2. Рівняння

A 1 x  В 1 y  C 1 z  D  (  A 2 x  В 2 y  C 2 z  D 2 )  0
1
де λ – параметр, задає пучок площин, які проходять через пряму l.

Приклад. Пряма l задана своїми загальними рівняннями

  2x y  4 z  10  0
 .
 3 x  2 y  z2  6  0

Знайти її 1) канонічні рівняння; 2) параметричні рівняння.

□ 1) Знайдемо напрямний вектор прямої

  
i j k
     
s  n 1  n 2  1  2 4  4 i  14 j  8 k .

3 2  2

Знайдемо деяку точку M 0 на прямій. Нехай x = 0 , тоді

 2 y  z4  10  0
 ; y = -1; z = 2 ; M 0(0; 1;2).
 2 y  z2  6  0

Канонічні рівняння

x  0 y  (  ) 1 z  2
  ;
 4 14 8