Page 85 - 4754

83

  arccos(  2 / 3 ).

6.6. Умова перетину трьох площин у одній точці

Три площини  : A і x  В і y  C і z  D  0 (i =1, 2, 3) перетинаються в
і

одній точці тоді і тільки тоді, коли квадратна система, складена з рівнянь цих

площин, має єдиний розв’язок.

Тобто, коли визначник системи відмінний від нуля

А 1 В 1 С 1

А 2 1 В 2 С 2  0 .

А 3 В 3 С 3

Приклад. Знайти точку перетину трьох площин

2x - 4y + 3z -1 = 0 ; 3x - y + 5z - 2 = 0 ;

4x + 3y + 4z = 0 .

(Розв’язати самостійно. Використати метод Крамера).

6.7. Відстань від точки до площини

Нехай у просторі задані площина a своїм загальним рівнянням Ax + By + Cz

+ D = 0 і деяка точка M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) (рис. 103).

Візьмемо на цій площині довільну M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), та побудуємо вектор


M 1 M 0  ( x  x 1 ; y 0  y 1 z ; 0  z 1 ). Тоді відстань d від точки M 0 до
0


площини α дорівнює модулю проекції вектора M 1 M 0 на вектор нормалі


n  ( A ; B ; C ; ).

 
| n M 1 M 0 | | А( x  x 1 )  ( В y  y 1 )  С z ( 0  z 1 | )
0
0
d   .
 2 2 2
| n | А  В  С

Оскільки - xА 1  Вy  Сz 1  D .
1