Page 84 - 4754

82

Рис. 101

6.5. Кут між площинами. Умови паралельності та перпендикулярності

двох площин

Нехай задано дві площини α 1 і α 2 своїми загальними рівняннями:

A 1 x  В 1 y  C 1 z  D  0 .
1

Кут φ між площинами α 1 і α 2 дорівнює куту між їх векторами нормалей

 
n  ( A 1 ; B 1 ; C 1 ; ) і n 2  ( A 2 ; B 2 ; C 2 ; ) (рис. 102).
1

Отже,

A 1 A  B 1 B  C 1 C 2
2
2
cos   .
2 2 2 2 2 2
A  B  C A  B  C
1 1 1 2 2 2
Використовуючи умови перпендикулярності та паралельності векторів,

маємо відповідні умови для площин.

Умова перпендикулярності двох площин

A 1 A  B 1 B  C 1 C 2  0 .
2
2
Умова паралельності двох площин
A 1 B 1 C 1
  .
A 2 B 2 C 2

Дві площини збігаються, якщо

A 1 B 1 C 1 D 1
   .
A 2 B 2 C 2 D 2

Рис.102

Приклад. Знайти кут між заданою площиною α 1 : 2x - y - 2z +6 = 0 і

координатною площиною Oxy .

  
n  ( ; 2  ; 1  ; 2 ); α 2 : z = 0; n 2  k  ( ; 1 ; 0 ; 0 );
1
2  0  (  1 )  0  (  2 ) 1  2
cos     .
2 2 2 2 2 2 3
2  (  ) 1  (  2 ) 0  0  1