Page 77 - 4754

75

1  4 2
f (A )  det(  EA )     3  10
3 2  

Обчислимо f (A)

2
2 1 4  1 4  1 0 
( f ) A  A  3A 10E      3   10   





 3 2   3 2   0 1 
13 12  3 12   01 0  0  0
            . ■








 9 16   9 62   0 10   0 0 

5.6. Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом
простих ітерацій
Будь-яку квадратну систему лінійних рівнянь можна подати у вигляді X =
AX + B .

Тоді її можна розв’язувати одним із методів послідовних наближень –

методом простих ітерацій
X 0= C ; X k  AX k  1  B ( k , 1 , 2 3 ,...)

де вдале початкове значення C вибирається довільно, виходячи з досвіду

попередніх розрахунків. За його відсутності можна, наприклад, покласти C = 0.

Послідовність X k (k =1, 2, 3, ...) збігається до шуканого розв’язку X, якщо

всі власні числа матриці A за модулем менші від одиниці.

На практиці зручніше користуватись умовою: метод простих ітерацій є

збіжним, якщо норма матриці A менша одиниці A  1.

Приклад. Поклавши X 0 = 0, знайти методом простих ітерацій три перші

наближення X k (k = 1, 2, 3) розв’язку X системи рівнянь X = AX + B, де

 x 1   2,0  4,0   1,0 
X    ; A    ;B    .
     
x
 2   3 , 0  5,0    3,0 
2 / 1
 n n 2 

A    a ij  ;
 
  i 1 j 1 