Page 76 - 4754

74

 3(  )x  2x  4x  0  x 
  1 2 3   1 

(A  E ) x  0 ,  2x 1  1(  )x 2  2x 3  0 , де x  x  ,
 2
  
x
 x 1  x 2  2(  )x 3  0  3 
знаходимо відповідні власні вектори. Обчисливши їх модулі, виділяємо

одиничні власні вектори.

При  1  0 маємо

 3x 1  2x 2  4x 3  0  0 
  2x 1  x 2  2x 3   
 2x 1  x 2  2x 3  0 ,  , де x 1    t2  ,
  x 1  x 2  2x 3  
 x 1  x 2  2x 3  0  t 

 
Власні вектори e 2 і e 3 знайдіть самостійно. ■

5.5. Матричні многочлени

Нехай A – довільна квадратна матриця n -того порядку. Якщо у довільний

многочлен

m m1
f ( x ) a 0 x  a 1 x ...  a m1 x  a m

замість змінної x підставити матрицю A, то отримаємо матрицю

m m1
f ( A ) a 0 A  a 1 A ...  a m1 A  a m E

яка називається многочленом від матриці A (матричним многочленом).

Зауваження. Над многочленами від однієї і тієї ж матриці A можна

здійснювати алгебраїчні дії як над звичайними многочленами.

Теорема Келі – Гамільтона. Довільна квадратна матриця є коренем свого

характеристичного многочлена. (Без доведення).

Приклад. Перевірити, що задана матриця

1 4 
A    ,


 3 2 
є коренем свого характеристичного многочлена.
□ Знаходимо характеристичний многочлен матриці A